Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n-2a_n+20．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=log 

2

3

a1-1

9

+log 

2

3

a2-1

9

+…+log 

2

3

an-1

9

，求{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)已知條件利用遞推關系式寫出相鄰項的關系式，進一步利用構造新數(shù)列求出數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）根據(jù)上步的結論，進一步求出數(shù)列的通項公式，在利用裂項相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n-2a_n+20①
則：S_n-1=（n-1）-2a_n-1+20②
①-②得：a_n=1-2a_n+2a_n-1
所以：3a_n=2a_n-1+1
整理得：(an-1)=

2

3

(an-1-1)
所以：

an-1

an-1-1

=

2

3

(常數(shù))
所以：數(shù)列{a_n-1}是以（a₁-1）為首項，

2

3

為公比的等比數(shù)列
當n=1時，a₁=7
所以：an-1=6•(

2

3

)n-1
所以 數(shù)列的通項公式為：an=6•(

2

3

)n-1+1
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結論：log

2

3

an-1

9

=log

2

3

(

2

3

)n=n
所以：bn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式和構造新數(shù)列求數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列的和．屬于基礎題型．