Question

已知拋物線C：x²=4y，其焦點為F，點M在拋物線C上．
（Ⅰ）當(dāng)|MF|=3時，求點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）以M為圓心且過定點A（0，t）的圓與x軸交于P、Q兩點．已知當(dāng)M運動時，弦長|PQ|始終為定值，求實數(shù)t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由|MF|=3，利用焦點弦長公式可得y_M+1=3，解出即可．
（II）設(shè)M(a，

a2

4

)，則⊙M的方程為：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-t)2，令y=0，化為2x²-4ax+at²-2t²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4t2+(4-2t)a2

，令4-2t=0，解得t即可得出．

解答： 解：（I）∵|MF|=3，∴y_M+1=3，解得y_M=2，∴x_M=±2

2

．
∴M(±2

2

，2)．
（II）設(shè)M(a，

a2

4

)，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則⊙M的方程為：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-t)2，
令y=0，化為2x²-4ax+at²-2t²=0，
則x₁+x₂═2a，x₁x₂=

at2-2t2

2

．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4t2+(4-2t)a2

，
令4-2t=0，解得t=2，此時|PQ|=|x₁-x₂|=4為定值．
∴t=2．

點評：本題考查了圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式、弦長公式、定值問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．