Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且4S_n=3b_n-a₁．
（1）求a_n，b_n；
（2）若c_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（3）當n∈N^*時，求d_n=

4bn+1

bn-1

的最小值和最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列通項的性質，求出公差，可求等差數(shù)列{a_n}的通項，利用再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{b_n}是以-3為首項，-3為公比的等比數(shù)列，可求數(shù)列{b_n}的通項；
（2）分類討論，能求出d_n=

4bn+1

bn-1

的最小值和最大值．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則
∴a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，
∴3a₃=21，3a₄=27，
∴a₃=7，a₄=9，∴d=2，
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴a₁=3，∴4S_n=3b_n-3，①
n=1時，4S₁=3b₁-3，∴b₁=-3，
n≥2時，4S_n-1=3b_n-1-3，②，
∴①-②整理得b_n=-3b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以-3為首項，-3為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=（-3）ⁿ．
（2）∵c_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)，
=

n

6n+9

．
（3）d_n=

4bn+1

bn-1

=4+

5

(-3)n-1

，
n為奇數(shù)時，dn=4-

5

3n+1

，
∵3ⁿ+1≥4，n=1時取等號，
∴

11

4

≤4-

5

3n+1

＜4，
n為偶數(shù)時，dn=4+

5

3n-1

，
∵3ⁿ-1≥8，n=2時取等號，
∴4≤4+

5

3n-1

≤

37

8

，
綜上，

11

4

≤dn≤

37

8

，d_n≠4，
∴d_n=

4bn+1

bn-1

的最小值是

11

4

，最大值是

37

8

．

點評：本題考查等差數(shù)列于等比數(shù)列的定義，通項公式，考查數(shù)列遞推式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．