Question

18．已知命題p：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-9lnx$在區(qū)間（m，m+1）上單調(diào)遞減，命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{5-m}=1$表示的焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
（1）當(dāng)p為真命題時(shí)，求m的取值范圍；
（2）若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)p為真命題時(shí)，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范圍；
（2）若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則命題p，q一真一假，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-9lnx$
∴$f′（x）=x-\frac{9}{x}$，
當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)p為真命題時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}m≥0\\ m+1≤3\end{array}\right.$，
解得：0≤m≤2…（6分）
（2）若q為真命題，則：
5-m＞m-1＞0，
解得：1＜m＜3…（10分）
若命題“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則命題p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}0≤m≤2\\ m≤1，或m≥3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m＜0，或m＞2\\ 1＜m＜3\end{array}\right.$
解得：0≤m≤1或2＜m＜3…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，橢圓的方程等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．