Question

5．“低碳經(jīng)濟(jì)”是促進(jìn)社會(huì)可持續(xù)發(fā)展的推進(jìn)器，某企業(yè)現(xiàn)有100萬(wàn)元資金可用于投資，如果投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$；如果投資“低碳型”經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目，一年后可能獲利30%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為a和b（其中a+b=1）．
（1）如果把100萬(wàn)元投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目，用ξ表示投資收益（投資收益=回收資金-投資資金），求ξ的概率分布及均值（數(shù)學(xué)期望）E（ξ）；
（2）如果把100萬(wàn)元投資“低碳型”經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目，預(yù)測(cè)其投資收益均值會(huì)不低于投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目的投資收益均值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如果把100萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利20%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$，則可得到ξ的可能取值為20，0，-10．然后分別求出概率，由期望公式即可得到答案．
（2）若把100萬(wàn)元投資投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，故可以先求出投資乙項(xiàng)目ξ的期望值，然后使其大于等于甲項(xiàng)目的期望，解出α的取值范圍即可得到答案．

解答 解　（1）依題意知ξ的可能取值為20，0，-10，ξ的分布列為

η	20	0	-10
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（ξ）=20×$\frac{3}{5}$+0×$\frac{1}{5}$+（-10）×$\frac{1}{5}$=10．
（2）設(shè)η表示把100萬(wàn)投資“低碳型“經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目的收益，則η的分布列為

η	30	-20
P	a	b

E（η）=30a-20b=50a-20，
依題意得50a-20≥10，
∴$\frac{3}{5}$≤a≤1，
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{5}$，1]

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望的問題，以及用期望值估計(jì)實(shí)際問題，對(duì)學(xué)生靈活應(yīng)用能力要求較高，屬于中檔題目．