過雙曲線2x2-y2=1上一點A(1,1)作兩條動弦AB,AC,且直線AB,AC的斜率的乘積為3.
(1)問直線BC是否可與坐標軸垂直?若可與坐標軸垂直,求直線BC的方程,若不與坐標軸垂直,試說明理由.
(2)證明直線BC過定點.
(1)解:令B(x
1,y
1),C(x
2,y
2).
當BC與x軸垂直時,有x
1=x
2,y
1=-y
2,
故:3=
∴x
1=
,與|x
1|≥
矛盾,因此BC不與x軸垂直..(3分)
當BC與y軸垂直時,有x
1=-x
2,y
1=y
2,
故:3=
∴y
1=-
,因此BC可與y軸垂直,此時BC的方程為y=-
.(5分)
(2)證明:當BC不與坐標軸垂直時,k
AB•k
AC=
=3,
故3(x
1-1)(x
2-1)=(y
1-1)(y
2-1).…①…(6分)
令BC:y=kx+b,代入雙曲線方程有:2x
2-(kx+b)
2=1?(2-k
2)x
2-2kbx-b
2-1=0.…②
x
1,x
2是方程②的兩個實根.令f(x)=(2-k
2)x
2-2kbx-b
2-1,
則(x
1-1)(x
2-1)=
.③…..(8分)
直線方程又可寫成:x=
,代入2x
2-y
2=1,有:2(y-b)
2-k
2y
2=k
2,整理得:(2-k
2)y
2-4by+2b
2-k
2=0.…④
y
1,y
2是方程④的兩個實根.
令g(y)=(2-k
2)y
2-4by+2b
2-k
2.
(y
1-1)(y
2-1)=
.…⑤…(10分)
③,⑤兩式代入①式,有:
,
故3[1-(k+b)
2]=2[(b-1)
2-k
2],
從而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k).…⑥
因為點A(1,1)不在直線y=kx+b上,故k+b≠1.
利用⑥,可知:3 (1+k+b)+2(b-1-k)=0,
即k+5b+1=0,所以
.
因此直線BC過定點M
,直線y=-
也過定點M.
綜上所述,直線BC恒過定點M
.…(14分)
分析:(1)分類討論,利用直線AB,AC的斜率的乘積為3,即可求得結(jié)論;
(2)令BC:y=kx+b,代入雙曲線方程,得出k+5b+1=0,所以
,因此直線BC過定點M
,直線y=-
也過定點,從而可得結(jié)論.
點評:本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查直線恒過定點,考查學(xué)生的計算能力,難度較大.