Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）救出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程組，聯(lián)解可得a，b的值；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)y=f（x）-（2x-2）的最大值不超過0，用導(dǎo)數(shù)工具討論單調(diào)性，可得此函數(shù)的最大值．

解答：解：
（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+

b

x

，
由已知條件得：

f(1)=0 f/(1)=2

，即

1+a=0 1+2a+b=2

解之得：a=-1，b=3
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x-x²+3lnx，
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，則
g/(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

當(dāng)時(shí)0＜x＜1，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0
所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（x）在x=1處取得最大值g（1）=0
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）≤0
∴f（x）≤2x-2在（0，+∞）上恒成立

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，是一道常見的函數(shù)題．