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6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn)M(2,y0)到焦點(diǎn)F的距離等于3.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)D(3,0)的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),求△ABF面積的最小值.

分析 (1)根據(jù)拋物線的定義得出M到準(zhǔn)線的距離為3,列方程解出p;
(2)設(shè)AB方程為x=my+3,與拋物線方程聯(lián)立方程組得出A,B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系,得出△ABF的面積關(guān)于m的函數(shù),求出最小值即可.

解答 解:(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-p2,
∴M(2,y0)到焦點(diǎn)的距離為2+p2=3,
∴p=2.
∴拋物線方程為y2=4x.
(2)設(shè)AB的方程為x=my+3.
聯(lián)立方程組{y2=4xx=my+3,得y2-4my-12=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-12.
∴|y1-y2|=y1+y224y1y2=16m2+48
∴S△ABF=12|FD||y1|+12|FD||y2|=|y1|+|y2|=|y1-y2|=16m2+4843
∴m=0時(shí),S△ABF取得最小值43

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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