Question

（本小題滿分10分）已知函數是偶函數．

（1）求實數的值;

（2）設,若有且只有一個實數解,求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）. （2）的取值范圍是{}∪[1,＋∞）．

【解析】

試題分析：（1）通過偶函數的定義，知，化簡得,進而求出 。（2）通過分析得出題意可化為方程有且只有一個實根, 令,則有且只有一個正根，再通過，分三種情況、、討論求的取值范圍。

試題解析：（1）由函數是偶函數可知:,

∴ ,

化簡得,

即對一切恒成立,∴.

（2）函數與的圖象有且只有一個公共點,

即方程有且只有一個實根,

化簡得:方程有且只有一個實根,

且成立, 則

令,則有且只有一個正根

設,注意到,

所以①當時, 有, 合題意;

②當時,圖象開口向下,且,則需滿足

,此時有;（舍去）

③當時,又,方程恒有一個正根與一個負根.

綜上可知,的取值范圍是{}∪[1,＋∞）．

考點：對數函數的奇偶性和分類整合思想