【題目】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)為原點(diǎn),過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線交拋物線于兩點(diǎn)、,拋物線的準(zhǔn)線分別交直線、于點(diǎn)和點(diǎn),求證:以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn).
【答案】(1)標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,準(zhǔn)線方程為;(2)證明見解析
【解析】
(1)設(shè)拋物線C:x2=﹣2py,代入點(diǎn)(2,﹣1),解方程可得p,求得拋物線的方程和準(zhǔn)線方程;(2)拋物線x2=﹣4y的焦點(diǎn)為F(0,﹣1),設(shè)直線方程為y=kx﹣1,聯(lián)立拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,以及直線的斜率和方程,求得A,B的坐標(biāo),可得AB為直徑的圓方程,可令x=0,解方程,即可得到所求定點(diǎn).
(1)設(shè)拋物線C:x2=﹣2py,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,﹣1).可得4=2p,即p=2,
可得拋物線C的方程為x2=﹣4y,準(zhǔn)線方程為y=1;
(2)拋物線x2=﹣4y的焦點(diǎn)為F(0,﹣1),
設(shè)直線方程為y=kx﹣1,聯(lián)立拋物線方程,可得x2+4kx﹣4=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
可得x1+x2=﹣4k,x1x2=﹣4,
直線OM的方程為yx,即yx,
直線ON的方程為yx,即yx,
可得A(﹣,1),B(﹣,1),
可得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2()=﹣2﹣2k,
即有AB為直徑的圓心為(﹣2k, 1),
半徑為||=22,
可得圓的方程為(x+2k)2+(y﹣1)2=4(1+k2),
化為x2+4kx+(y﹣1)2=4,
由x=0,可得y=﹣1或3.
則以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,﹣1),(0,3).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A.是為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的必要不充分條件
B.命題“”的否定是
C.命題“若,則”的逆否命題是“若,則或”
D.若,則方程有實(shí)數(shù)根的逆命題是假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從裝有個(gè)不同小球的口袋中取出個(gè)小球(),共有種取法。在這種取法中,可以視作分為兩類:第一類是某指定的小球未被取到,共有種取法;第二類是某指定的小球被取到,共有種取法。顯然,即有等式:成立。試根據(jù)上述想法,下面式子(其中)應(yīng)等于 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某品牌經(jīng)銷商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪男性和女性用戶各50名,其中每天玩微信超過(guò)6小時(shí)的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,調(diào)查結(jié)果如下:
微信控 | 非微信控 | 合計(jì) | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有95%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人數(shù);
(3)從(2)中抽取的5位女性中,再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品,試求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為,為圓的圓心.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的偶函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù),若是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則( )
A. B.
C. D.
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【題目】某商家計(jì)劃投入10萬(wàn)元經(jīng)銷甲,乙兩種商品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查統(tǒng)計(jì),當(dāng)投資額為萬(wàn)元,經(jīng)銷甲,乙兩種商品所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元,其中,,當(dāng)該商家把10萬(wàn)元全部投入經(jīng)銷乙商品時(shí),所獲收益為5萬(wàn)元.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若該商家把10萬(wàn)元投入經(jīng)銷甲,乙兩種商品,請(qǐng)你幫他制訂一個(gè)資金投入方案,使他能獲得最大總收益,并求出最大總收益.
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