已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn),點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn),且
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,圓.過(guò)點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線,設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為,被圓截得的弦長(zhǎng)為,問(wèn):是否為定值?如果是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)雙曲線的方程為;(2)是定值,且.

解析試題分析:(1)先利用拋物線的定義求出點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線的方程并結(jié)合點(diǎn)所在的象限得到點(diǎn)的坐標(biāo),先計(jì)算出的長(zhǎng)度,然后利用雙曲線的定義計(jì)算出的值,由確定的值,從而得到雙曲線的方程;(2)對(duì)直線的斜率存在與否分兩種情況討論,對(duì)直線的斜率不存在時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證,在直線的斜率存在時(shí),先假設(shè)直線的方程,然后根據(jù)直線的位置關(guān)系得到直線的方程,并求出圓心到兩直線的距離,根據(jù)圓的半徑長(zhǎng)、直線截圓的弦長(zhǎng)和圓心距三者之間的關(guān)系求出兩直線截圓的弦長(zhǎng)、,并進(jìn)行驗(yàn)證是否為定值.
試題解析:(1)∵拋物線的焦點(diǎn)為,
∴雙曲線的焦點(diǎn)為,                  1分
設(shè)在拋物線上,且,
由拋物線的定義得,,∴,∴,∴,          3分
,                  4分
又∵點(diǎn)在雙曲線上,由雙曲線定義得:
,∴, ∴雙曲線的方程為:.            6分
(2)為定值.下面給出說(shuō)明.
設(shè)圓的方程為:, ∵圓與直線相切,
∴圓的半徑為,故圓.             7分
顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意,                  8分
設(shè)的方程為,即,
設(shè)的方程為,即,
∴點(diǎn)到直線的距離為,
點(diǎn)到直線的距離為,                  10分
∴直線被圓截得的弦長(zhǎng), &n

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為
(1)求橢圓方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B, M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ).若,求拋物線的方程;
(Ⅱ).求△ABM面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓,過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓于A,B兩點(diǎn)。
(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率;
(2)求的取值范圍;
(3)將表示為的函數(shù),并求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,、、是橢圓的頂點(diǎn),是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線軸于點(diǎn),直線于點(diǎn),設(shè)的斜率為,的斜率為,求證:為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求交點(diǎn)的極坐標(biāo)().

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于,兩點(diǎn)

(Ⅰ)若線段的中點(diǎn)在直線上,求直線的方程;
(Ⅱ)若線段,求直線的方程

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍;

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案