5.已知函數(shù)f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{|{lg|x|}|,x≠0}\\{1,x=0}\end{array}}$,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有9個不同的實數(shù)根.   
(1)求a+b的值;    
(2)求a的取值范圍.

分析 (1)令f(x)=t,根據(jù)f(x)的函數(shù)圖象判斷f(x)=t的解的個數(shù),得出t=1為方程t2+at+b=0的解.
(2)當(dāng)f(x)=t,t>0且t≠1時,關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有9個不同實數(shù)解,據(jù)此即可求得實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)做出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示:
設(shè)f(x)=t,則當(dāng)t=1時,f(x)=t有5個解,當(dāng)t≠1時,f(x)=t有4個解.
∵關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有9個不同的實數(shù)解,
∴關(guān)于t的方程t2+at+b=0有兩解,且t=1是其中一解,
∴1+a+b=0,即a+b=-1.
(2)當(dāng)f(x)=t,t>0且t≠1時,關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有9個不同實數(shù)解,
∴t2+at-1-a=0,
∴a=-1-t,∵t>0且t≠1,
∴a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);另外,由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷.屬于中檔題.

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