Question

在矩形中，以所在直線為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，E、F為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，和交于點(diǎn)，的外接圓為⊙．

（1）求證：；
（2）求⊙的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與⊙交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M恰好是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1），，根據(jù)。
(2) .
(3) ．

解析試題分析：（1）由題意可知，，，．
所以直線和直線的方程分別為:，，
由　解得 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．     6分
所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ac/1/1to3i3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，                8分
(2)由（1）知⊙的圓心為中點(diǎn)，半徑為，
所以⊙方程為 .               10分
(3) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)均在⊙上，所以，
由②－①×4，得，
所以點(diǎn)在直線，      12分
又因?yàn)辄c(diǎn)在⊙上，
所以圓心到直線的距離
 ，            14分
即，
整理，得，即，
所以，故的取值范圍為．   16分

解法二：過作交于，
設(shè)到直線的距離，則
，
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8a/9/1xrya4.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2c/a/163ju3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，所以，；
解法三：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8b/b/1or0z4.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以
所以，所以，．
考點(diǎn)：直線方程，直線垂直的條件，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，直線方程的考查中，點(diǎn)斜式是一重點(diǎn)考查內(nèi)容。兩直線垂直的條件是，斜率乘積為-1，或一條直線斜率為0，另一直線的斜率不存在。直線與圓的位置關(guān)系問題，往往利用“幾何法”更為直觀、簡(jiǎn)單。