Question

【題目】函數(shù)f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）討論g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若f（x）有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），求證：在區(qū)間（1，＋∞）上存在f（x）的極值點x0 ， 使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：函數(shù)g（x）的定義域為（0，＋∞），導(dǎo)函數(shù)為 ．

①當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數(shù)；

②當(dāng)a＞0時， ，并且，

在區(qū)間（0， ）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函數(shù)；

在區(qū)間（ ，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在區(qū)間（ ，＋∞）上是減函數(shù)．

（Ⅱ）證明：當(dāng)a＞0時，在區(qū)間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區(qū)間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區(qū)間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），

f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在區(qū)間（0， ）上是增函數(shù)，在區(qū)間（ ，＋∞）上是減函數(shù)．

①若 ，則 ，在區(qū)間（1，＋∞）上，f′（x）是減函數(shù)，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，所以必然有 ．

②當(dāng) 時，在區(qū)間（1， ）上，f′（x）是增函數(shù)，f′（x）＞f′（1）＝0；

在區(qū)間（ ，＋∞）上，f′（x）是減函數(shù)．依題意，必存在實數(shù)x0，使得在區(qū)間（ ，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；在區(qū)間（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．此時x0＞1，且x0是f（x）的極大值點．

所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即 消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．

設(shè)F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1）， ．

∵ ，∴x＞1時，F(xiàn)′（x）單調(diào)遞增．又F′（1）＝0，

∴x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0．∴x＞1時，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．

又F（1）＝－2＜0，F(xiàn)（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1滿足題意．

亦可直接觀察得到，x0＝e2時，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，滿足題意．

【解析】（Ⅰ）先求得函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，對a進行分類討論并分別判斷函數(shù)g′（x）值大于零與小于零的區(qū)間，從而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）先函數(shù)f（x）零點存在的區(qū)間，再利用零點的存在區(qū)間確定a的取值范圍，再結(jié)合零點的存在性得到滿足題意的x0，對設(shè)出的F（x）求得最大值為0的情況，從而求出x0的具體值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．