【題目】在等比數(shù)列{an}中,an>0 (n∈N ),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)最大時(shí),求n的值.
【答案】(1) 25-n (2) 8或9
【解析】
(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5=a32,a2a8=a52化簡(jiǎn)a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5,又因?yàn)?/span>a3與a5的等比中項(xiàng)為2,聯(lián)立求得a3與a5的值,求出公比和首項(xiàng)即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)把an代入到bn=中得到bn的通項(xiàng)公式,即可得到前n項(xiàng)和的通項(xiàng)sn;把sn代入得到,討論求出各項(xiàng)和的最大值時(shí)n的取值.
解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,
∴a+2a3a5+a=25,
又an>0,∴a3+a5=5.
又a3與a5的等比中項(xiàng)為2,
∴a3a5=4,而q∈(0,1),
∴a3>a5,∴a3=4,a5=1.
∴q=,a1=16,∴an=16×n-1=25-n.
(2)bn=log2an=5-n,
∴bn+1-bn=-1,
∴{bn}是以b1=4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,
∴Sn=,
∴=,
∴當(dāng)n≤8時(shí), >0;
當(dāng)n=9時(shí),=0;
當(dāng)n>9時(shí), <0.
∴當(dāng)n=8或9時(shí),+++…+最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).
(I)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,并判斷它們的位置關(guān)系;
(II)將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線,設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,設(shè)曲線上任一點(diǎn)為,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.
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【題目】某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1000名網(wǎng)購(gòu)者進(jìn)行調(diào)查.這1000名購(gòu)物者2018年網(wǎng)購(gòu)金額(單位:萬元)均在區(qū)間內(nèi),樣本分組為:,,,,,,購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下:
電子商務(wù)公司決定給購(gòu)物者發(fā)放優(yōu)惠券,其金額(單位:元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下:
購(gòu)物金額分組 | ||||
發(fā)放金額 | 50 | 100 | 150 | 200 |
(1)求這1000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù);
(2)以這1000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率,求一個(gè)購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率.
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【題目】從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) |
1 | [0,2) | 6 |
2 | [2,4) | 8 |
3 | [4,6) | 17 |
4 | [6,8) | 22 |
5 | [8,10) | 25 |
6 | [10,12) | 12 |
7 | [12,14) | 6 |
8 | [14,16) | 2 |
9 | [16,18) | 2 |
合計(jì) | 100 |
(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率;
(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在(0, 2π)內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)、。
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求的值。
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,曲線任一點(diǎn)為,求點(diǎn)直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),且,求證:.
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【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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