Question

【題目】已知等差數(shù)列的公差不為零，且，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到，可令，求得，再將換為，相減可得；

（2）原不等式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意檢驗(yàn)時(shí)不等式成立，再假設(shè)時(shí)不等式成立，證明時(shí)，不等式也成立，注意運(yùn)用分析法證明.

（1）等差數(shù)列的公差不為零，，可得，

、、成等比數(shù)列，可得，即，

解方程可得，則.

數(shù)列滿(mǎn)足，可得，

當(dāng)時(shí)，由，

可得，

相減可得，則，也適合，則，；

（2）證明：不等式即為

，

下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（i）當(dāng)時(shí)，不等式的左邊為，右邊為，左邊右邊，不等式成立；

（ii）假設(shè)時(shí)，不等式成立，

當(dāng)時(shí)，，

要證，

只要證，

即證，

即證，

由，可得上式成立，可得時(shí)，不等式也成立.

綜上可得，對(duì)一切，，

故.