Question

若a＞0，b＞0，a³+b³=2，求證： a+b≤2，ab≤1。

Answer 1

證明略

解析:

證法一： 因a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以

(a+b)³－2³=a³+b³+3a²b+3ab²－8=3a²b+3ab²－6

=3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a³+b³)］=－3(a+b)(a－b)²≤0。 

即(a+b)³≤2³，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?≤a+b≤2，

所以ab≤1 

證法二： 設(shè)a、b為方程x²－mx+n=0的兩根，則，

因?yàn)?i>a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m²－4n≥0             ①

因?yàn)?=a³+b³=(a+b)(a²－ab+b²)=(a+b)［(a+b)²－3ab］=m(m²－3n)

所以n=                                            ②

將②代入①得m²－4()≥0，

即≥0，所以－m³+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，

由2≥m 得4≥m²，又m²≥4n，所以4≥4n，

即n≤1，所以ab≤1 

證法三：因a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以

2=a³+b³=(a+b)(a²+b²－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)

于是有6≥3ab(a+b)，

從而8≥3ab(a+b)+2=3a²b+3ab²+a³+b³=(a+b)³，所以a+b≤2，(下略）

證法四：因?yàn)?img width=112 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/106/339306.gif">

≥0，

所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b，有≥

因?yàn)?i>a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以1=≥，

∴≤1，即a+b≤2，(以下略）

證法五： 假設(shè)a+b＞2，則

a³+b³=(a+b)(a²－ab+b²)=(a+b)［(a+b)²－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，

又a³+b³=(a+b)［a²－ab+b²］=(a+b)［(a+b)²－3ab］＞2(2²－3ab)

因?yàn)?i>a³+b³=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，

故a+b≤2(以下略)。