設(shè)函數(shù)f（x）=-x3+3x+2分別在x1、x2處取得極小值、極大值．xOy平面上點A、B的坐標(biāo)分別為（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），該平面上動點P（x，y），Q（mx，2y），
OC
=
OQ
+m
OA
滿足
AP
•
OC
=1-m．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）求動點P的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀．
分析：（1）令f′（x）=0求出x的解，確定函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，從而得到A、B的坐標(biāo)；
（2）利用向量的數(shù)量積運算，可得動點P的軌跡方程，分類討論，可得軌跡的形狀．
解答：解：（1）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1
當(dāng)x＜-1時，f'（x）＜0；當(dāng)-1＜x＜1時，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0
所以，函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，
故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以點A、B的坐標(biāo)為A（-1，0），B（1，4）；
（2）由題意，
AP
=(1+x，y)，
OC
=(mx-m，2y)
∵
AP
•
OC
=1-m
∴（1+x）（mx-m）+2y2=1-m
∴mx2+2y2=1
①m=0時，y=±
2
2
，表示兩條平行直線；
②m=2時，x2+y2=
1
2
，表示原點為圓心，半徑為
2
2
的圓；
③m＜0時，
y2
1
2
-
x2
-
1
m
=1，表示焦點在y軸上的雙曲線；
④m＞0時，
y2
1
2
+
x2
1
m
=1，若0＜m＜2，表示焦點在x軸上的橢圓；若m＞2，表示焦點在y軸上的橢圓．
點評：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，會用平面內(nèi)兩個向量數(shù)量積的運算，以及會求動點的軌跡方程的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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