向量
a
=(sinωx+cosωx,1)
,
b
=(f(x),sinωx)
,其中0<ω<1,且
a
b
.將f(x)的圖象沿x軸向左平移
π
4
個(gè)單位,沿y軸向下平移
1
2
個(gè)單位,得到g(x)的圖象,已知g(x)的圖象關(guān)于(
π
4
,0)
對(duì)稱.
(1)求ω的值;
(2)求g(x)在[0,4π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析:(1)通過(guò)
a
b
推出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,化簡(jiǎn)為 一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,利用圖象變換后關(guān)于(
π
4
,0)
對(duì)稱,求出ω的值.
(2)由(1)得到g(x),利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,然后求出g(x)在[0,4π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.
解答:解:(1)因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
a
b
,所以f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)=sin2ωx+sinωxcosωx=
1
2
(1-cos2ωx)+
1
2
sin2ωx=
1
2
+
2
2
sin(2ωx-
π
4
)

而g(x)=
2
2
sin[2ω(x+
π
4
)-
π
4
]
關(guān)于(
π
4
,0)
對(duì)稱,所以
2
2
sin[2ω(x+
π
4
)-
π
4
]=0
,2ω(x+
π
4
)-
π
4
=kπ
,k∈Z
∴ω=k+
1
4
,由k∈Z,0<ω<1得ω=
1
4

(2)g(x)=
2
2
sin (
x
2
-
π
8
)
.由-
π
2
+2kπ≤ 
x
2
-
π
8
≤ 2kπ+
π
2
  k∈Z
-
4
+4kπ≤x≤
4
+4kπ
  k∈Z又x∈[0,4π]且k=0時(shí),-
4
≤x≤
4
,k=1時(shí)
13π
4
≤x≤
21π
4
,
所以g(x)在[0,4π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,
4
],[ 
13π
4
,4π]
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查向量的數(shù)量積,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,三角函數(shù)的圖象的變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,?碱}型.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知平面向量
a
=(sin(π-x))
b
=(
3
,cosx)
,函數(shù)f(x)=
a
b

(1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=f(x-
π
6
)+1
,求直線y=2與y=g(x)在閉區(qū)間[0,π]上的圖象的所有交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sinωx,1),
b
=(
3
,cosωx)
,ω>0,記函數(shù)f(x)=
a
b
,若f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)若x∈(0,
π
3
]
,求此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1),
b
=(
2
,2)
f(x)=
a
b
+2

(1)求f(x)的表達(dá)式.
(2)用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的圖象.
(3)寫(xiě)出f(x)在[-π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
(4)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=m在x∈[-π,π]上的根為x1,x2m∈(1,
2
)
,求x1+x2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量a=(sinωx,cosωx),b=(cosωx,
3
cosωx)
(ω>0),函數(shù)f(x)=
a
b
-
3
2
的最小正周期為π.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(II)如果△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C,且滿足b2+c2=a2+
3
bc
,求f(A)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
),-1)
,
b
=(2,2)
f(x)=
a
b
+2

①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象.
②求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
③求函數(shù)f(x)的最大值,并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到?
⑤當(dāng)x∈[0,π],求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)
的值域
解:(1)列表
(2)作圖
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