Question

16．下列命題中
①A+B=$\frac{π}{2}$是sinA=cosB成立的充分不必要條件．
②${（\frac{1}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)．
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，S_n是其前n項(xiàng)和且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2，則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
④設(shè)過函數(shù)f（x）=x²-x（-1≤x≤1）圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率為K，則K的取值范圍是（-3，1）
把你認(rèn)為正確的命題的序號填在橫線上①③．

Answer 1

分析 對4個命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①A+B=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{2}$-B，∴sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
∴A+B=$\frac{π}{2}$是sinA=cosB成立的充分不必要條件，正確．
②${（\frac{1}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$的展開式，通項(xiàng)為$（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{\frac{3}{2}r-3}$，令$\frac{3}{2}$r-3=0，可得r=2，常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)，不正確．
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，S_n是其前n項(xiàng)和且滿足S_n+1=$\frac{1}{2}{S_n}$+2，可得S_n=$\frac{1}{2}$S_n-1+2，兩式相減可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，正確；
④f（x）=x²-x（-1≤x≤1），則f′（x）=2x-1∈[-3，1]，K的取值范圍是[-3，1]，不正確．
故答案為①③．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．