雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的虛軸端點與一個焦點連線的中點在與此焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線上，PQ是雙曲線的一條垂直于實軸的弦，O為坐標(biāo)原點．則
.
OP
•
.
OQ
等于（　�。�
分析：首先根據(jù)雙曲線虛軸端點與一個焦點連線的中點在與此焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線上，運用中點坐標(biāo)公式和準(zhǔn)線方程表達式，計算出c2=2a2，從而得到a2=b2，雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
a2
=1．然后可以設(shè)出垂直于實軸的弦PQ端點的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式結(jié)合雙曲線方程進行化簡，可得則
.
OP
•
.
OQ
等于a2．
解答：解：設(shè)A（0，-b）為虛軸的一個端點，F(xiàn)（c，0）是雙曲線的右焦點
∵虛軸端點與一個焦點連線的中點在與此焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線上
∴AF中點G在右準(zhǔn)線：x=
a2
c
上
∴
xG=
1
2
(0+c)=
a2
c
yG=
1
2
(-b+0)=-
b
2
⇒
1
2
c=
a2
c
⇒c2=2a2
∵c2=a2+b2
∴a2=b2⇒雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
a2
=1
∵PQ是雙曲線的一條垂直于實軸的弦
∴可以設(shè)P（x0，y0），Q（x0，-y0）
且
x02
a2
-
y02
a2
=1⇒x0 2-y02=a2
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式得：
.
OP
•
.
OQ
=x0•x0+y0•（-y0）=x0 2-y02=a2
故選B
點評：本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)為載體，著重考查了向量的數(shù)量積和雙曲線的基本概念等知識點，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　�。�
A、[3-2
3
，+∞)
B、[3+2
3
，+∞)
C、[-
7
4
，+∞)
D、[
7
4
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，則a等于
 
，該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)圓C的圓心為雙曲線
x2
a2
-y2=1(a＞0)的左焦點，且與此雙曲線的漸近線相切，若圓C被直線l：x-y+2=0截得的弦長等于
2
，則a等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點O和點F（-2，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的一點，并且P點與右焦點F′的連線垂直x軸，則線段OP的長為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1的一個焦點坐標(biāo)為(-
3
，0)，則其漸近線方程為（　　）
A、y=±
2
x
B、y=±
2
2
x
C、y=±2x
D、y=±
1
2
x

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