Question

19．斜率為k（k＞0）的直線經(jīng)過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，當(dāng)B為AC中點(diǎn)時(shí)，k的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E，M，過(guò)B作AE的垂線BN，在三角形ABN中，∠BAN等于直線AB的傾斜角，其正切值即為k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAN=$\frac{BN}{AN}$，從而得出直線AB的斜率．

解答 解：如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E，M，
過(guò)B作AE的垂線BN，
在三角形ABN中，∠BAN等于直線AB的傾斜角，其正切值即為k值，
設(shè)|BF|=n，B為AC中點(diǎn)，可得2|BF|=|AE|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，
根據(jù)拋物線的定義得：|AE|=2n，|BF|=n，
∴|AN|=n，
在直角三角形ABC中，tan∠BAN=$\frac{BN}{AN}$=$\frac{\sqrt{9{n}^{2}-{n}^{2}}}{n}$=2$\sqrt{2}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，特別是焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解題時(shí)要善于運(yùn)用拋物線的定義解決問(wèn)題．