Question

9．若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數(shù)f（x）有極值-$\frac{4}{3}$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若方程f（x）=k有3個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3ax²-b，利用當x=2時，函數(shù)f（x）有極值-$\frac{4}{3}$．列出方程組求解即可．
（2）求出函數(shù)的極值點，判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值，然后推出a的范圍即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）f′（x）=3ax²-b
由題意；$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a-b}\\{f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{3}$，b=4，
∴所求的解析式為f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+4$．
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2）
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
∴當x＜-2時，f′（x）＞0，當-2＜x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0
因此，當x=-2時，f（x）有極大值$\frac{28}{3}$，
當x=2時，f（x）有極小值$-\frac{4}{3}$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+4$的圖象大致如圖．

由圖可知：$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性，函數(shù)的零點個數(shù)，考查分析問題解決問題的能力．