Question

設動點P（x，y）（y≥0）到定點F（0，1）的距離比它到x軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設圓M過A（0，2），且圓心M在曲線C上，EG是圓M在x軸上截得的弦，試探究當M運動時，弦長|EG|是否為定值？為什么？

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知，動點P到定點F（0，1）的距離等于P到直線y=-1的距離，
曲線C是以原點為頂點，F（0，1）為焦點的拋物線
∵
∴p=2
∴曲線C方程是x²=4y

（Ⅱ）設圓的圓心為M（a，b），
∵圓M過A（0，2），
∴圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
設圓與x軸的兩交點分別為（x₁，0），（x₂，0）
不妨設x₁＞x₂，由求根公式得，

∴
又∵點M（a，b）在拋物線x²=4y上，
∴a²=4b，
∴，
即|EG|=4
∴當M運動時，弦長|EG|為定值4
分析：（Ⅰ）由題意知，P的軌跡滿足拋物線的定義，故可求出拋物線的焦點，繼而求出拋物線方程．
（Ⅱ）待定系數法設出圓的方程，設出圓與x軸的兩個焦點E，G的坐標，再根據圓心在拋物線上，將圓心坐標代入拋物線，兩個式子聯立可求出x₁-x₂是否為定值．
點評：本題考查圓與拋物線相交關系的應用，考查了圓的定義，拋物線的定義，以及點的軌跡方程的求法，屬于難題．