Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），b₃=5，其前9項和為63．
（Ⅰ）證明：數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求a_nb_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過已知條件得到$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，即數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由a_n=n，b_n=n+2得到a_nb_n=（n+1）²-1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求a_nb_n的最小值．

解答 （Ⅰ）證明：由2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1），得$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵$\frac{Sn}{n}$=1+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
于是a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=n+1．
又a₁=1，所以a_n=n．
因為b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．                   
由已知易知$\frac{9（_{3}+_{7}）}{2}$=63，
又b₃=5，
所以b₇=9，
所以{b_n}的公差d=$\frac{9-5}{7-3}$=1，
所以b_n=b₃+（n-3）×1=n+2．
∴${a_n}{b_n}=n（n+2）={（n+1）^2}-1$，
∴當(dāng)n=1時，a_nb_n的最小值為3．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和之間的關(guān)系，同時考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)和定義的運(yùn)用，考查推理能力，屬于難題．