Question

設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

(1)若，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，求的面積；

(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線的斜率成等差數(shù)列．

 

Answer 1

【答案】

 (1)  ；(2) 。

(3)顯然直線的斜率都存在，分別設(shè)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

聯(lián)立方程組得到 ，

，得到．

【解析】

試題分析：

思路分析：(1) 利用“代入法”。

(2) 聯(lián)立方程組得，，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求 

，得到面積。

 (3)直線的斜率都存在，分別設(shè)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AB：，代入拋物線得， 確定 ，

，得到．

解：(1) 設(shè)，，焦點(diǎn)，則由題意，即 

所求的軌跡方程為，即 

(2) ，，直線，

由得，， 

， 。

(3)顯然直線的斜率都存在，分別設(shè)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AB：，代入拋物線得， 所以，

又，，

因而，

因而 

而，故．

考點(diǎn)：等差數(shù)列，求軌跡方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及“弦中點(diǎn)”問題，往往利用“代入法”求軌跡方程。涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過程。