Question

已知數列{a_n}，{b_n}中，對任意n∈N^*都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是否為等比數列？若是，請求出通項公式，若不是，請說明理由；
（2）求證：

n

i=1

1

a ibi

＜

3

2

．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）根據條件，再寫一式，兩式相減，寫出等差數列的通項_n=a₁+（n-1）d，從而可得數列{b_n}的通項，利用數列{b_n}是等比數列，確定條件，從而可得結論；
（2）

n

i=1

1

a ibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

n×2n-1

，利用放縮法，結合等比數列的求和公式，即可證得結論．

解答： （1）解：依題意，由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，
可得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1（n≥2），
兩式相減可得a_nb_n=n•2^n-1，
設等差數列的首項為a₁，公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d
∵a_nb_n=n•2^n-1，
∴b_n=

n•2n-1

a1+(n-1)d

（n≥2）
∴b_n=

2n-1

a1-d n +d

若數列{b_n}是等比數列，則a₁=d≠0
∴a₁=d≠0時，數列{b_n}是等比數列，b_n=

2n-1

d

；a₁≠d時，數列{b_n}不是等比數列；
（2）證明：由（1）知a_nb_n=n•2^n-1，n=1，2時，結論成立．
∴

n

i=1

1

a ibi

=

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

n×2n-1

＜

1

1×1

+

1

2×2

+…+

1

2×2n-1

（n≥3）
=1+

1

4

+

1

8

×

1-( 1 2 )n-2

1- 1 2

≤1+

1

4

+

1

4

=

3

2

．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查不等式的證明，正確運用等差數列與等比數列的通項是關鍵．