Question

18．在平面直角坐標中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=2acosθ（a＞0），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若|AB|=2$\sqrt{10}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，可得結論；
（2）直線與曲線聯(lián)立，利用弦長公式，建立方程，即可求a的值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=2acosθ（a＞0）可得ρ²sin²θ=2aρcosθ．
可得：曲線C的普通方程為：y²=2ax；
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為x-y-2=0；
（2）直線與曲線聯(lián)立可得y²-2ay-4a=0，
∵|AB|=2$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{2}•\sqrt{4{a}^{2}+16a}$=2$\sqrt{10}$，解得a=1或-5（舍去）．

點評 本題考查三種方程的互化，考查弦長公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．