Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

（I）證明：∵在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴O為BD的中點(diǎn)，
又M為AB的中點(diǎn)，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
證明：（II）在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=

2

2

，
∴AC²=AO²+CO²，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則O(0，0，0)，A(0，0，

2

2

)，C(

2

2

，0，0)，B(0，-

2

2

，0)，D(0，

2

2

，0)，

OA

=(0，0，

2

2

)是平面BCD的一個(gè)法向量．

AC

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

BC

=(

2

2

，

2

2

，0)，
設(shè)平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

BC

=0，

n

•

AC

=0．
即

(x，y，z)•( 2 2 2 2 ，0)=0 (x，y，z)•( 2 2 ，0，- 2 2 )=0

，
所以y=-x，且z=x，令x=1，則y=-1，z=1，
解得

n

=(1，-1，1)．

從而cos?

n

，

OA

＞=

n • OA

| n || OA |

=

3

3

，
二面角A-BC-D的余弦值為

3

3

．