Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.
(Ⅰ) 求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 已知點(diǎn)B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線l過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

(Ⅰ) （） (Ⅱ)見(jiàn)解析

(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為（ x , y ）則所以，所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為（）
(Ⅱ)證明：
設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得（其中）
設(shè),若x軸是的角平分線，則

，即故直線l方程為，直線l過(guò)定點(diǎn).（1,0）
本題考查軌跡方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.第一問(wèn)曲線軌跡方程的求解問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)題型之一，準(zhǔn)確去除不滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是關(guān)鍵.第二問(wèn)對(duì)角平分線的性質(zhì)運(yùn)用是關(guān)鍵，對(duì)求定值問(wèn)題的解決要控制好運(yùn)算量，同時(shí)注意好判別式的條件，以防多出結(jié)果.圓錐曲線問(wèn)題經(jīng)常與向量、三角函數(shù)結(jié)合，在訓(xùn)練中要注意.本題無(wú)論是求圓心的軌跡方程，還是求證直線過(guò)定點(diǎn)，計(jì)算量都不太大，對(duì)思維的要求挺高；設(shè)計(jì)問(wèn)題背景，彰顯應(yīng)用魅力.
【考點(diǎn)定位】本題考查跡曲線方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.