長(zhǎng)方形中,,.以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1) 求以、為焦點(diǎn),且過(guò)、兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過(guò)點(diǎn)的直線交(1)中橢圓于兩點(diǎn),是否存在直線,使得以線段為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1);(2) 存在過(guò)的直線:,理由見(jiàn)解析.
解析試題分析:(1)由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)題意知,求得,進(jìn)而根據(jù)和的關(guān)系求得,則橢圓的方程可得;(2)設(shè)直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立,設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為.根據(jù)韋達(dá)定理求得和,進(jìn)而根據(jù)若以為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),推斷則,得知,根據(jù)求得代入即可求得,最后檢驗(yàn)看是否符合題意.
(1)由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
,.
.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(2) 由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程,消去整理得.
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
∴.
若以為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以,
所以,,即.
所以,即
得滿足,
所以直線的方程為,或.
故存在過(guò)的直線:使得以弦為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn).
考點(diǎn):1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、直線的一般式方程;3、直線與圓相交的性質(zhì);4、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,且離心率為.
(1)求橢圓方程;
(2)斜率為的直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),為直線上的一點(diǎn),若△為等邊三角形,求直線的方程.
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在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程.
(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓的右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng),若存在,請(qǐng)求出Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,短軸長(zhǎng)為2,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A,B是橢圓C上的兩點(diǎn),△AOB的面積為.若A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,E為線段AB的中點(diǎn),射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.如果=t,求實(shí)數(shù)t的值.
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已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線:,使得成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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如圖,已知圓E ,點(diǎn),P是圓E上任意一點(diǎn).線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程;
(2)點(diǎn),,點(diǎn)G是軌跡上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線AG與直線相交于點(diǎn)D,試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離為,到軸的距離為,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2) 若直線斜率為1且過(guò)點(diǎn),其與軌跡交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,是否存在直線,使得△與△的面積比值為?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
我們將不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線,這個(gè)公共點(diǎn)稱為切點(diǎn).解決下列問(wèn)題:
已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于4,直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、,且(為定值).設(shè)線段的中點(diǎn)為,與直線平行的拋物線的切點(diǎn)為..
(1)求出拋物線方程,并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程;
(2)用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo),并證明垂直于軸;
(3)求的面積,證明的面積與、無(wú)關(guān),只與有關(guān).
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