Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=1-2t y=t

，曲線C的參數(shù)方程為

x=cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）將直線l與曲線C的參數(shù)方程化為一般方程；
（2）若已知P（x，y）是曲線C上的一點，求x+y的最大值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,點的極坐標和直角坐標的互化

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）由直線l的參數(shù)方程為

x=1-2t y=t

，消去參數(shù)t即可得出．由曲線C的參數(shù)方程為

x=cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），化為cosθ=x，sinθ=

y

3

．利用cos²θ+sin²θ=1，即可得出．
（2）利用曲線C的參數(shù)方程、兩角和差的正弦、正弦的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）直線l的參數(shù)方程為

x=1-2t y=t

，消去參數(shù)t可得x+2y-1=0．
曲線C的參數(shù)方程為

x=cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），化為cosθ=x，sinθ=

y

3

．
∴x2+(

y

3

)2=cos²θ+sin²θ=1，即x2+

y2

3

=1．
（2）x+y=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)≤2．當且僅當sin(θ+

π

6

)=1時取等號．
∴x+y=的最大值為2．

點評：本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系式、兩角和差的正弦、正弦的單調(diào)性，屬于基礎題．