Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3-

3a

2

x2+2a2x+1在區(qū)間（-2，1）上有極大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．（-1，0）∪（0，1）
• B．（-2，0）∪（0，1）
• C．（-2，1）
• D．(-1，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的極大值點(diǎn)，它的左邊導(dǎo)數(shù)為正且右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，由此建立關(guān)于a的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)數(shù)，得y'=x²-3ax+2a²
∵函數(shù)y=

1

3

x3-

3a

2

x2+2a2x+1在區(qū)間（-2，1）上有極大值，
∴令y'=0，得x=a或2a，
當(dāng)a=0時(shí)，顯然函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，x=a為較小的根，可得a∈（-2，1），得0＜a＜1；
當(dāng)a＜0時(shí)，x=2a為較小的根，可得2a∈（-2，1），得-1＜a＜0
可得a∈（-1，0）∪（0，1）
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出三次多項(xiàng)式函數(shù)在給定區(qū)間上有極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．