Question

如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，B為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，過點(diǎn)B作與FB垂直的直線BP交x軸于P點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a和短半軸長(zhǎng)b是關(guān)于x的方程3x2-3

3

cx+2c2=0（其中c為半焦距）的兩個(gè)根．
（I）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）經(jīng)過F、B、P三點(diǎn)的圓與直線x+

3

y-

3

=0相切，試求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（I）由根與系數(shù)的關(guān)系得，

a+b= 3 c ab= 2 3 c2

，故a²+2ab+b²=3c²，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）由e=

c

a

=

3

2

，令a=2m（m＞0），則有c=

3

m，b=m，從而F(-

3

m，0)，B(0，m)，直線BP的方程為y=-

3

x+m，P點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

3

m，0)．再由△FBP是直角三角形，知圓心為(-

3

3

m，0)，半徑為r=

2 3

3

m．由此能求出橢圓的方程．

解答：解：（I）依題意，由根與系數(shù)的關(guān)系得，

a+b= 3 c ab= 2 3 c2

，∴a²+2ab+b²=3c²，（3分）
又∵b²=a²-c²，（4分）
∴3a²-4c²=0，解得e=

c

a

=

3

2

；（6分）
（Ⅱ）由（I）知e=

c

a

=

3

2

，令a=2m（m＞0），則有c=

3

m，b=m，
從而F(-

3

m，0)，B(0，m)，（7分）
∴直線BP的方程為y=-

3

x+m，（8分）
P點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

3

m，0)．（9分）
∵△FBP是直角三角形，
∴圓心為(-

3

3

m，0)，半徑為r=

2 3

3

m，（10分）
圓心到直線x+

3

y-

3

=0的距離為d=

|- 3 3 m- 3 |

2

=

2

3

3

m，（11分）
解得m=1，（12分）
故b=1，a=2（13分）
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進(jìn)行待價(jià)轉(zhuǎn)化．