【題目】已知函數(shù)f(x)x2﹣(6+a)x+2alnx(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)g(x)x2+(2a﹣4)lnx﹣1,若存在x0∈[1,e],使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范圍.
【答案】(1) 當(dāng)a>6時(shí),f(x)在(,+∞),(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a=6時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)0<a<6時(shí),f(x)在(2,+∞),(0,)上單調(diào)遞增,f(x)在(,2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2) (﹣5,+∞).
【解析】
(1)首先對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù),令,再討論當(dāng)、a=6、、四種情況對(duì)應(yīng)的單調(diào)性。
(2)首先由f(x)<g(x),化簡(jiǎn)得4lnx+1<(6+a)x,因?yàn)?/span>x∈[1,e],所以a>[]min,
令h(x),對(duì) h(x)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可。求出最小值即可。
(1)f′(x)=3x﹣(6+a)(x>0),
令f′(x)=0,得x1,x2=2,
①當(dāng)及a>6時(shí),
若x∈(,+∞)∪(0,2),f′(x)>0,故f(x)在(,+∞),(0,2)上單調(diào)遞增,
若x∈(2,),f′(x)<0,故f(x)在(2,)上單調(diào)遞減.
②當(dāng)a=6時(shí),f′(x)≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,
故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
③當(dāng)02,即0<a<6時(shí),
若x∈(2,+∞)∪(0,),f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞),(0,)上單調(diào)遞增
若x∈(,2),f′(x)<0,故f(x)在(,2)上單調(diào)遞減.
④當(dāng),即a≤0時(shí),
若x∈(2,+∞),f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
若x∈(0,2),f′(x)<0,f(x)在(0,2)單調(diào)遞減.
綜上所述:當(dāng)a>6時(shí),f(x)在(,+∞),(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a=6時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)0<a<6時(shí),f(x)在(2,+∞),(0,)上單調(diào)遞增,f(x)在(,2)上單調(diào)遞減.
當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)x∈[1,e],由f(x)<g(x),化簡(jiǎn)得4lnx+1<(6+a)x,
因?yàn)?/span>x∈[1,e],所以a>[]min,
令h(x),,
令h′(x)=0,得x=e,
當(dāng)x∈[1,e)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
當(dāng)x∈(e,e]時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
所以h(x)min={h(1),h(e)},
h(1)=﹣5<h(e),
所以a>﹣5,
故a的取值范圍是(﹣5,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo),凡在該超市購(gòu)物滿(mǎn)400元的顧客,將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì),規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球,1個(gè)黃球,1個(gè)白球和1個(gè)黑球.顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng),否則就繼續(xù)摸球.規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).
(1)求1名顧客摸球2次停止摸獎(jiǎng)的概率;
(2)記為1名顧客5次摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會(huì)必須打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一.為堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式,現(xiàn)對(duì)兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對(duì)比,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)可劃分為:指標(biāo)在區(qū)間的為優(yōu)等品;指標(biāo)在區(qū)間的為合格品,現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中,各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測(cè),測(cè)試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下:
甲種生產(chǎn)方式:
指標(biāo)區(qū)間 | ||||||
頻數(shù) | 5 | 15 | 20 | 30 | 15 | 15 |
乙種生產(chǎn)方式:
指標(biāo)區(qū)間 | ||||||
頻數(shù) | 5 | 15 | 20 | 30 | 20 | 10 |
(1)在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中,按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式,隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品,①求這5件產(chǎn)品中,優(yōu)等品和合格品各多少件;②再?gòu)倪@5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽出2件,求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率;
(2)所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品,若是優(yōu)等品每件可售55元,若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元,乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計(jì)總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下,該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來(lái)幫助該扶貧村來(lái)脫貧?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校抽取了100名學(xué)生期中考試的英語(yǔ)和數(shù)學(xué)成績(jī),已知成績(jī)都不低于100分,其中英語(yǔ)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,成績(jī)分組區(qū)間是,,,,.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生英語(yǔ)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y的情況如下表所示:
分組區(qū)間 | |||||
y | 15 | 40 | 40 | m | n |
且區(qū)間內(nèi)英語(yǔ)人數(shù)與數(shù)學(xué)人數(shù)之比為,現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,求選出的2人中恰好有1人數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間,六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格(單位元),以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,以下敘述不正確的是( )
A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價(jià)格最高
B.天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大
C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)
D.相比于上一年同期,其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和,點(diǎn)在橢圓上,且滿(mǎn)足,當(dāng)變化時(shí),給出下列三個(gè)命題:
①點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱(chēng);②的最小值為2;
③存在使得橢圓上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè),
其中,所有正確命題的序號(hào)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(2)若在上恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
①?gòu)哪成鐓^(qū)65戶(hù)高收入家庭,280戶(hù)中等收入家庭,105戶(hù)低收入家庭中選出100戶(hù)調(diào)查社會(huì)購(gòu)買(mǎi)力的某一項(xiàng)指標(biāo),應(yīng)采用的最佳抽樣方法是分層抽樣
②線(xiàn)性回歸直線(xiàn)一定過(guò)樣本中心點(diǎn)
③對(duì)于一組數(shù)據(jù),如果將它們改變?yōu)?/span>,則平均數(shù)與方差均發(fā)生變化
④若一組數(shù)據(jù)1、、2、3的眾數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2
⑤用系統(tǒng)抽樣方法從編號(hào)為1,2,3,…,700的學(xué)生中抽樣50人,若第2段中編號(hào)為20的學(xué)生被抽中,按照等間隔抽取的方法,則第5段中被抽中的學(xué)生編號(hào)為76
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線(xiàn)截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率.
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