Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈{N^*}）$，則a₁₀=$\frac{1}{1023}$．

Answer 1

分析 由已知取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：由已知取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}+1⇒\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+1=2（{\frac{1}{a_n}+1}）$，
又a₁=1，故$\frac{1}{a_n}+1={2^{n-1}}（{\frac{1}{a_1}+1}）={2^n}$，${a_n}=\frac{1}{{{2^n}-1}}$，${a_{10}}=\frac{1}{1023}$．
故答案為：$\frac{1}{1023}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．