如圖所示,已知三棱錐A-BCD中,AD⊥平面BCD點M、N、G、H分別是棱AB、AD、DC、CB的中點.
(1)求證M、N、G、H四點共面;
(2)已知DC=1,CB=,AD=,AB是球M的大圓直徑,點C在球面上,求球M的體積V.

【答案】分析:(1)根據(jù)兩條平行線可以確定一個平面證明M、N、G、H四點共面,根據(jù)中位線證明直線平行.
(2)先證BC⊥平面ACD,在Rt△BCD中求出BD,在Rt△ABD用勾股定理求出球的半徑,即可求球M的體積V
解答:解(1)連接MH,NG,∵M、N、G、H分別是棱AB、AD、DC、CB的中點,
∴MH∥AC,NG∥AC,∴MH∥NG,根據(jù)兩條平行線可以確定一個平面,∴∵M、N、G、H四點共面.
(2)設(shè)球半徑為R,∵AB是球M大圓直徑,點c在球面上,
∴MA=MB=MC=R,且∠ACB=90°,∴BC⊥AC,
∵AD⊥平面BCD,∴AD⊥BC,∵AC∩AD=A,∴BC⊥平面ACD,
∴BC⊥CD,∴BD2=BC2+CD2=3,
∵AD=,∴AB2=3+6=9,
∴AB=3,∴球半徑=,
∴球體積V=π.
點評:本題用到公理兩條平行線可以確定一個平面,線面垂直的判定定理,勾股定理等知識點,訓(xùn)練學(xué)生分析問題,解決問題的能力.
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精英家教網(wǎng)如圖所示,已知三棱錐A-BCD中,AD⊥平面BCD點M、N、G、H分別是棱AB、AD、DC、CB的中點.
(1)求證M、N、G、H四點共面;
(2)已知DC=1,CB=
2
,AD=
6
,AB是球M的大圓直徑,點C在球面上,求球M的體積V.

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如圖所示,已知三棱錐A-BCD被一平面所截,截面為平行四邊形EFGH,求證:
(1)EF∥平面BCD;
(2)EF∥CD;
(3)CD∥平面EFGH.

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如圖所示,已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上,球心0在AB上,P0⊥平面ABC,
AB
BC
=
3
,則三棱錐與球的體積之比為
3
:8π
3
:8π

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如圖所示,已知三棱錐ABCDM、N分別為ABCD的中點,則下列結(jié)論正確的是(  )

A.MN(ACBD)

B.MN(ACBD)

C.MN(ACBD)

D.MN<(ACBD)

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如圖所示,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點,D為PB的中點,且△PMB為正三角形.

(1)求證:DM∥平面APC; (2)求證:平面ABC⊥平面APC.

 

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