Question

【題目】已知點(diǎn)，，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)且滿足

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線與 軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交直線：于點(diǎn)，試問軸上是否存在一個定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)使得成立.

【解析】

（1）設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲線的方程．

（2）由題意得M(0，1)，N(0，-1)，設(shè)點(diǎn)R(x0，y0)，（x0≠0），由點(diǎn)R在曲線上，得=1，直線RM的方程，從而直線RM與直線y=3的交點(diǎn)為，直線RN的方程為，從而直線RN與直線y=3的交點(diǎn)為，假設(shè)存在點(diǎn)S(0，m)，使得成立，則，由此能求出存在點(diǎn)S，使得成立，且S點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）設(shè)，由，

得：，

整理得.

所以曲線的方程為.

（2）由題意得，，.

設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)在曲線上，

所以.

直線的方程為，

所以直線與直線的交點(diǎn)為.

直線的方程為

所以直線與直線的交點(diǎn)為.

假設(shè)存在點(diǎn)，使得成立，

則，.

即，

整理得.

因?yàn)?/span>，

所以，

解得.

所以存在點(diǎn)使得成立，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.