Question

四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分別是線段CE、PB的中點(diǎn)．

(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求二面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)二面角的正切值為．

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)BD，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)是CＥ的中點(diǎn)，所以ＢＤ過點(diǎn)，這樣只需證即可；（Ⅱ）求二面角的正切值，需找出平面角，注意到PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是線段PB的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則⊥平面ABCD，過作，垂足為，則即為二面角的平面角．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，是CＥ的中點(diǎn)，且ABCE為菱形，，，所以過點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，在中，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021018354302.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，，又平面，平面 ；
（Ⅱ）取的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021018354302.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021018572394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，過作，垂足為，連結(jié)，則即為二面角的平面角，
不妨令，則，有平面幾何知識可知，，所以二面角的正切值為 ．