某個集團(tuán)公司下屬的甲、乙兩個企業(yè)在2012年1月的產(chǎn)值都為a萬元,甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的產(chǎn)值相等,乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的百分?jǐn)?shù)相等,到2013年1月兩個企業(yè)的產(chǎn)值再次相等.
(1)試比較2012年7月甲、乙兩個企業(yè)產(chǎn)值的大小,并說明理由;
(2)甲企業(yè)為了提高產(chǎn)能,決定投入3.2萬元買臺儀器,并且從2013年2月1日起投入使用.從啟用的第一天起連續(xù)使用,第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為
n+4910
元(n∈N*),求前n天這臺儀器的日平均耗費(fèi)(含儀器的購置費(fèi)),并求日平均耗資最小時使用的天數(shù)?
分析:(1)設(shè)從2012年1月到2013年1月甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為a1,a2,a3,…,a13,乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為b1,b2,…,b13,根據(jù)題意可以確定{an}成等差數(shù)列,{bn}成等比數(shù)列,利用等差中項和等比中項求出a7和b7,利用基本不等式即可比較大小,從而得到答案;
(2)設(shè)一共使用了n天,則根據(jù)題意列出n天的平均耗資的表達(dá)式,利用等差數(shù)列求和,和基本不等式,即可求得使用800天,平均耗資最。
解答:解:(1)設(shè)從2012年1月到2013年1月甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為a1,a2,a3,…,a13,
乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為b1,b2,…,b13,
∵甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的產(chǎn)值相等,
∴{an}成等差數(shù)列,
∵乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的百分?jǐn)?shù)相等,
∴{bn}成等比數(shù)列,
根據(jù)等差數(shù)列的等差中項和等比數(shù)列的等比中項,
a7=
1
2
(a1+a13)
,b7=
b1b13
,
∵a1=b1,a13=b13
a7=
1
2
(a1+a13)>
a1a13
=
b1b13
=b7
,即a7>b7,
∴到7月份甲企業(yè)的產(chǎn)值比乙企業(yè)的產(chǎn)值要大;
(2)設(shè)一共使用了n天,n天的平均耗資為P(n),
P(n)=
32000+(
1+49
10
+
2+49
10
+
3+49
10
+…+
n+49
10
)
n
=
32000+
49n
10
+
n(n+1)
20
n
=
32000
n
+
n
20
+
99
20
≥2
32000
n
×
n
20
+
99
20
=
1699
20
,
當(dāng)且僅當(dāng)
32000
n
=
n
20
,即n=800時,P(n)取得最小值,
∴日平均耗資最小時使用了800天.
點(diǎn)評:本題主要考查了根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型,解決實際問題通常有四個步驟:(1)閱讀理解,認(rèn)真審題;(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型;(3)利用數(shù)學(xué)的方法,得到數(shù)學(xué)結(jié)果;(4)轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答,其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.本題同時考查了數(shù)列的應(yīng)用,涉及等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列求和,涉及基本不等式的應(yīng)用.是一道綜合性的題目.屬于難題.
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