Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若直線是曲線的一條切線，求k的值；

（2）當(dāng)時(shí)，直線與曲線無交點(diǎn)，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）3．

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線方程建立等量關(guān)系，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得k的值；

（2）把交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求解單調(diào)性及最值，然后可得整數(shù)k的最大值．

（1）由題意知，設(shè)切點(diǎn)為，

在點(diǎn)P處的切線方程為．

整理得．

由．

令，．

當(dāng)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減．

所以的最大值為，即，故．

（2）令，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．

所以，即在上無零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，由，得．

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．

的最小值為．

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，

而，，，因此k的最大值為3．