【題目】定義：若數(shù)列滿足，存在實數(shù)，對任意，都有，則稱數(shù)列有上界，是數(shù)列的一個上界，已知定理：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂（即極限存在）.

（1）數(shù)列是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請說明理由；

（2）若非負數(shù)列滿足，（），求證：1是非負數(shù)列的一個上界，且數(shù)列的極限存在，并求其極限；

（3）若正項遞增數(shù)列無上界，證明：存在，當(dāng)時，恒有.

【答案】（1）存在，1；（2）見解析，極限1；（3）見解析.

【解析】

（1）確定，得到上界的最小值.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明數(shù)列單調(diào)遞增，得到極限存在，最后計算極限.

（3）假設(shè)結(jié)論不成立，取，，推出矛盾，得到證明.

（1）易知：，

數(shù)列存在上界，上界中的最小值為1

（2）非負數(shù)列，先證明

當(dāng)時：成立.

假設(shè)當(dāng)時成立，即

當(dāng)時：

即也成立

所以恒成立，1是非負數(shù)列的一個上界，得證.

數(shù)列單調(diào)遞增

故數(shù)列的極限存在

設(shè)

（3）證明：假設(shè)，當(dāng)時，恒有.

取滿足正項遞增數(shù)列無上界.

取，當(dāng)時，

這與題設(shè)矛盾

假設(shè)不成立

故存在，當(dāng)時，恒有.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點.

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（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求的取值范圍.

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（2）當(dāng)a＜1時，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范圍．

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【題目】設(shè)橢圓：（）,左、右焦點分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓：,為橢圓上任意一點,過點的直線交橢圓于兩點,射線交橢圓于點

①求的值；

②令,求的面積的最大值.

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【題目】

已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0),的中心和的頂點都在坐標(biāo)原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.

（Ⅰ）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，求直線的方程；

（Ⅲ）若坐標(biāo)原點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.

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