Question

【題目】已知 f（x）= sin2x﹣2sin2x，
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[﹣ ， ]，求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)對應(yīng)的x的取值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)?f（x）= sin2x﹣2sin2x= sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+ ）﹣1，

所以，函數(shù)的周期為T= =π，即函數(shù)f（x）的最小正周期為 π．

令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈z，

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+ ，kπ+ ]

（2）解：因?yàn)椹? ≤x≤ ，得﹣ ≤2x+ ≤ ，∴﹣ ≤sin（2x+ ）≤1．

∴﹣2≤2sin（2x+ ）﹣1≤1，

所以，函數(shù)f（x）的最大值為1．

此時(shí)，2x+ = ，即 x=

【解析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+ ）﹣1，由此求得函數(shù)的周期，令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈z，解得x的范圍，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）根據(jù)﹣ ≤x≤ ，求得2x+ 的范圍，可得sin（2x+ ）﹣1的范圍，即為函數(shù)的值域，從而求得函數(shù)的最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．