Question

（2012•青島二模）已知直線y=x+a與圓x²+y²=4交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=0，其中O為坐標(biāo)原點，則正實數(shù)a的值為

2

．

Answer 1

分析：由

OA

•

OB

=0，利用平面向量的數(shù)量積運算法則得到OA⊥OB，又OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R，可得出AB=

2

R，求出AB的長，圓心到直線y=x+a的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到正實數(shù)a的值．

解答：解：∵

OA

•

OB

=0，
∴OA⊥OB，又OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，
∴AB=

2

R=2

2

，
∴圓心到直線y=x+a的距離d=

1

2

AB=

2

，
又d=

|a|

2

=

2

，
∴|a|=2，又a＞0，
則a=2．
故答案為：2

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算法則，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，其中根據(jù)題意得出△AOB為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．