Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為

3

．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：x=my+q（m≠0）與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長軸的對稱點(diǎn)為A₁，試求A₁、F、B三點(diǎn)共線的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知a=2c，bc=

3

，由此能求出橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）聯(lián)立

x=my+q x2 4 + y2 3 =1

⇒(3m2+4)y2+6mqy+(3q2-12)=0，由此根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出A₁，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線的充要條件是|m|＞2且q=4．

解答： 解：（1）由題意知a=2c，bc=

3

，…（2分）
∴a=2，b=

3

，
橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）聯(lián)立

x=my+q x2 4 + y2 3 =1

⇒(3m2+4)y2+6mqy+(3q2-12)=0…（5分）
由△=12[3m²q²-（3m²+4）（q²-4）]=48（3m²+4-q²）＞0
得3m²+4-q²＞0①…（7分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

-6mq

3m2+4

，y1y2=

3q2-12

3m2+4

∵F（1，0），∴

FA1

=(x1-1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
因A₁，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，
∴（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=0…（10分）
∴（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=（my₁+q-1）y₂+（my₂+q-1）y₁
=2my₁y₂+（q-1）（y₁+y₂）
=2m•

3q2-12

3m2+4

+(q-1)•

-6mq

3m2+4

=2m•

3q-12

3m2+4

，②
解得q=4，m≠0．…（12分）
由①②知A₁，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線的充要條件是|m|＞2且q=4．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三點(diǎn)共線的充要條件的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．