Question

（2009•盧灣區(qū)二模）若函數(shù)f(x)=2sin2x-2

3

sinxsin(x-

π

2

)能使得不等式|f（x）-m|＜2在區(qū)間(0， 

2π

3

)上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（1，2]

．

Answer 1

分析：：利用誘導(dǎo)公式及二倍角、輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得f（x）=1+2sin(2x-

π

6

)，由0＜x＜

2π

3

可求sin（2x-

π

6

）的范圍，進(jìn)而可求f（x）得范圍，而|f（x）-m|＜2 即m-2＜f（x）＜2+m在區(qū)間(0， 

2π

3

)上恒成立可得

2+m＞3 m-2≤0

，可求

解答：解：∵f(x)=2sin2x-2

3

sinxsin(x-

π

2

)
=2sin2x+2

3

sinxcosx
=1-cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x-

π

6

)
∵0＜x＜

2π

3

∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(2x-

π

6

)≤1  即0＜f（x）≤3
∵|f（x）-m|＜2 即m-2＜f（x）＜2+m在區(qū)間(0， 

2π

3

)上恒成立
∴

2+m＞3 m-2≤0

解可得，1＜m≤2
故答案為：（1，2]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題的求解，解題的關(guān)鍵是靈活利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．