Question

已知cos⁴α-sin⁴α=

2

3

，α∈(0，

π

2

)，則cos(2α+

2π

3

)=

 

．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,運用誘導(dǎo)公式化簡求值,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由二倍角公式易得cos2α=

2

3

，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sin2α，代入cos(2α+

2π

3

)=cos2αcos

2π

3

-sin2αsin

2π

3

，計算可得．

解答： 解：由題意可得cos⁴α-sin⁴α
=（cos²α+sin²α）（cos²α-sin²α）
=cos²α-sin²α=cos2α=

2

3

，
又α∈(0，

π

2

)，∴2α∈（0，π），
∴sin2α=

1-cos22α

=

5

3

，
∴cos(2α+

2π

3

)=cos2αcos

2π

3

-sin2αsin

2π

3

=

2

3

×(-

1

2

)-

5

3

×

3

2

=-

2+ 15

6

故答案為：-

2+ 15

6

點評：本題考查二倍角公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和和差角的公式，屬中檔題．