【題目】已知函數(shù).(為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)當時,設,求函數(shù)在上的最值;
(2)當時,證明:,其中(表示中較小的數(shù).)
【答案】(1)最小值為,最大值為;(2)證明見解析.
【解析】
(1)由題意知,令其導數(shù)為0,解得,從而可探究在的單調(diào)性,可直接確定其最小值,通過作差法可比較,的大小,從而可求最大值.
(2)分成,兩種情況,通過對所證不等式進行變形.第一種情況下等價于證明,設,通過導數(shù)法可證明在上單調(diào)遞增,由 ,所以;第二種情況下等價于證明,由(1)知,,及,,所以,設,通過導數(shù)可證明在上單調(diào)遞增,由,所以,從而可證明.
解:(1)當時,,,則,
令,得,當時,;當時,.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
從而在上的最小值為.因為,,
,
所以,從而在上的最大值為.
(2)①當,即時,.
設,則.
令,則,
因為,所以,因為,所以,
當且僅當且時,等號成立.從而在上單調(diào)遞增.
注意到,所以,從而在上單調(diào)遞增.
注意到,所以,原不等式成立.
②當,即時,.
,
由(1)知,,及,,所以.
設,,則,
所以在上單調(diào)遞增.注意到,所以,原不等式成立.
綜上,當時,,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面ABCD,,,,,,.
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設Q為線段PD上的點,且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為,求的值.
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【題目】元朝著名的數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩:“我有一壺酒,攜著游春走.遇店添一倍,逢友飲一斗.”基于此情景,設計了如圖所示的程序框圖,若輸入的,輸出的,則判斷框中可以填( )
A.B.C.D.
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【題目】某班級有60名學生,學號分別為1~60,其中男生35人,女生25人.為了了解學生的體質(zhì)情況,甲、乙兩人對全班最近一次體育測試的成績分別進行了隨機抽樣.其中一人用的是系統(tǒng)抽樣,另一人用的是分層抽樣,他們得到各12人的樣本數(shù)據(jù)如下所示,并規(guī)定體育成績大于或等于80人為優(yōu)秀.
甲抽取的樣本數(shù)據(jù):
學號 | 4 | 9 | 14 | 19 | 24 | 29 | 34 | 39 | 44 | 49 | 54 | 59 |
性別 | 男 | 女 | 男 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 女 | 男 | 男 |
體育成績 | 90 | 80 | 75 | 80 | 83 | 85 | 75 | 80 | 70 | 80 | 83 | 70 |
女抽取的樣本數(shù)據(jù):
學號 | 1 | 8 | 10 | 20 | 23 | 28 | 33 | 35 | 43 | 48 | 52 | 57 |
性別 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 女 | 女 | 女 | 女 | 女 |
體育成績 | 95 | 85 | 85 | 80 | 70 | 80 | 80 | 65 | 70 | 60 | 70 | 80 |
(Ⅰ)在乙抽取的樣本中任取4人,記這4人中體育成績優(yōu)秀的學生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù),判斷是否有95%的把握認為體育成績是否為優(yōu)秀和性別有關(guān);
(Ⅲ)判斷甲、乙各用的何種抽樣方法,并根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu),說明理由.
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】平面直角坐標系中,已知點,直線,動點到點的距離比它到直線的距離小2.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設斜率為2的直線與曲線交于、兩點(點在第一象限),過點作軸的平行線,問在坐標平面中是否存在定點,使直線交直線于點,且恒成立?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
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【題目】年前某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標對本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考核,然后通過隨機抽樣抽取其中的50家,統(tǒng)計其考核成績(單位:分),并制成如下頻率分布直方圖.
(1)求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01)
(2)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會,并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機抽取4家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言,記抽到的企業(yè)中考核成績在的企業(yè)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望
(3)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布其中近似為50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù),近似為樣本方差,經(jīng)計算得,利用該正態(tài)分布,估計該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于90.06分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)).
附參考數(shù)據(jù)與公式:
則,.
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【題目】已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關(guān)于原點的對稱點為,直線交于點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高中某班共有40個學生,將學生的身高分成4組:平頻率/組距,,,進行統(tǒng)計,作成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值和身高在內(nèi)的人數(shù);
(2)求這40個學生平均身高的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)(精確到0.01).
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