Question

已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P（-1，-3），Q（2，6），且圓心在直線x+2y-4=0上，直線l的方程為（k-1）x+2y+5-3k=0．
（1）求圓C的方程；
（2）證明：直線l與圓C恒相交；
（3）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法求出圓的方程．
（2）根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)（3，-1），而M（3，-1）在圓的內(nèi)部，從而得到直線l與圓C恒相交．
（3）圓心C（2，1），半徑為5，由題意知，當(dāng)點(diǎn)M滿足CN垂直于直線l時(shí)，弦長(zhǎng)最短，利用弦長(zhǎng)公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0． …（2分）
由條件，得

1+9-D-3E+F=0 4+36+2D+6E+F=0 (- D 2 )+2×(- E 2 )-4=0

，解得

D=-4 E=-2 F=-20

，
∴圓C的方程為x²+y²-4x-2y-20=0． …（6分）
（2）由（k-1）x+2y+5-3k=0，得k（x-3）-（x-2y-5）=0，
令

x-3=0 x-2y-5=0

，得

x=3 y=-1

，即直線l過(guò)定點(diǎn)M（3，-1），…（8分）
由3²+（-1）²-4×3-2×（-1）-20＜0，知點(diǎn)M（3，-1）在圓內(nèi)，
∴直線l與圓C恒相交．         …（10分）
（3）圓心C（2，1），半徑為5，由題意知，當(dāng)點(diǎn)M滿足CM垂直于直線l時(shí)，弦長(zhǎng)最短．
直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2

52-[(2-3)2+(1+1)2]

=4

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．