Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy建立在湖泊的某一恰當(dāng)位置，現(xiàn)準(zhǔn)備在湖泊的一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段MD是以O(shè)為圓心，OD為半徑的圓弧，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， ），x∈[4，8]時(shí)的圖象，圖象的最高點(diǎn)為
（Ⅰ）求函數(shù)y=sin（ωx+φ）的解析式；
（Ⅱ）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園OEPF，其中折線FPE為水上賽艇線路，問點(diǎn)P落在圓弧MD上何處時(shí)賽艇線路最長(zhǎng)？

Answer 1

解：（I）對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx+φ），
由圖象知，， …（3分）
將 代入到 中，得，又，
所以，故 …（7分）
（II）在 中令x=4，得
∴ …（9分）
連接OP，設(shè)∠EOP=θ，，則
設(shè)賽艇線路長(zhǎng)為L(zhǎng)．
則= …（12分）
當(dāng) 時(shí)L 有最大值，此時(shí)．…（14分）
所以當(dāng)P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 時(shí)賽艇線路最長(zhǎng)．′…（15分）
分析：（I）函數(shù)y=f（x）的相鄰兩條對(duì)稱軸間距離，求出函數(shù)周期，得到ω，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，求出φ，然后求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）在 中令x=4，得OD，再連接OP，設(shè)賽艇線路長(zhǎng)為L(zhǎng)．利用三角函數(shù)表示出來L，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得L 有最大值即可解決問題．
點(diǎn)評(píng)：題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意周期的應(yīng)用，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，同時(shí)注意角的范圍，以及角的變換的技巧，是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．